Intervalo de Confiança para a Variância: A Análise Definitiva para Concursos (FGV 2023)

Ficha da questão

BancaFGV

Ano2023

ÓrgãoTCE ES – Tribunal de Contas do Estado do Espírito Santo

ProvaAuditor de Controle Externo (TCE ES) – Estatística

DisciplinaEstatística

AssuntoInferência: estimação pontual e intervalar

NívelSUPERIOR

Infográfico de estudo Intervalo de Confiança para a Variância, resumindo Inferência: estimação pontual e intervalar para concurso público: painéis com a definição, a comparação cobrada pela banca e a pegadinha mais frequente. — Distribuição Qui-Quadrado, cálculo e a regra de inversão dos limites.

Olá, futuro aprovado! O tema da nossa aula de hoje é um dos pilares da Estatística Inferencial e figura carimbada em concursos de alto nível: o Intervalo de Confiança (IC) para a Variância Populacional (σ²). Questões como a que analisaremos, do concurso para Auditor do TCE-ES (FGV, 2023), são elaboradas para testar não apenas a sua capacidade de aplicar uma fórmula, mas seu entendimento completo de múltiplos conceitos interligados. A questão-base nos pede para calcular o “intervalo bilateral de 95% de confiança aproximado, para a variância da amostra oriunda da população Y”, a partir de dados como média e coeficiente de variação. Vamos usar essa questão como trampolim para dominar o assunto de uma vez por todas.

Desenvolvimento Teórico Aprofundado

1. Conceitos Fundamentais: Variância e Coeficiente de Variação

Antes de mergulhar no intervalo de confiança, precisamos solidificar a base.

Variância (s² ou σ²): É a medida de dispersão que indica o quão longe, em média, os valores de um conjunto de dados estão de sua média. Uma variância alta significa dados mais espalhados; uma variância baixa, dados mais concentrados. Distinguimos a variância amostral (s²), calculada a partir de uma amostra, da variância populacional (σ²), que é o parâmetro de toda a população que queremos estimar.
Coeficiente de Variação (CV): É uma medida de dispersão relativa. Diferente da variância, o CV é adimensional (não tem unidade) e é calculado pela razão entre o desvio padrão amostral (s) и a média amostral (x̄): CV = s / x̄. Ele é extremamente útil para comparar a variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados com médias diferentes. Na questão, o CV foi a chave para encontrar a variância da amostra Y.

2. A Ferramenta Essencial: A Distribuição Qui-Quadrado (χ²)

Enquanto o intervalo de confiança para a média geralmente utiliza a distribuição Normal (Z) ou t-Student, o intervalo para a variância se baseia na Distribuição Qui-Quadrado (χ²). [1]

Assimetria: Diferente da Normal, a distribuição χ² não é simétrica. Ela é assimétrica à direita.
Graus de Liberdade (gl): Assim como a t-Student, a forma da curva χ² depende de um parâmetro chamado “graus de liberdade”, que para este caso é sempre gl = n - 1, onde ‘n’ é o tamanho da amostra.
Premissa Fundamental: A validade do uso da distribuição χ² para estimar a variância depende da suposição de que a população de onde a amostra foi extraída segue uma distribuição Normal. A questão da FGV já nos informa que as populações são normais.

3. A Fórmula do Intervalo de Confiança para a Variância (σ²)

A fórmula para um intervalo de confiança de (1-α) para a variância populacional σ² é:

[ ( (n-1)s² / χ²_{α/2, n-1} ) , ( (n-1)s² / χ²_{1-α/2, n-1} ) ]

Onde:

n: tamanho da amostra.
s²: variância amostral.
χ²_{α/2, n-1}: Valor da Qui-Quadrado (limite superior) que deixa uma área de α/2 à sua direita.
χ²_{1-α/2, n-1}: Valor da Qui-Quadrado (limite inferior) que deixa uma área de 1-α/2 à sua direita.

4. Resolvendo a Questão da FGV Passo a Passo

Vamos aplicar a teoria para resolver a questão que originou esta aula.

Enunciado-base: “Foram extraídas, de duas populações normais, distintas, X e Y, duas amostras de 35 elementos cada. A amostra da população X apresentou variância amostral igual a 104, o que produziu um intervalo bilateral de 95% de confiança para a variância amostral de, aproximadamente, [68;176,8]. A amostra da população Y apresentou média amostral igual a 5 e coeficiente de variação amostral igual a 2. […] o intervalo bilateral de 95% de confiança aproximado, para a variância da amostra oriunda da população Y, é de:”

Calcular a Variância Amostral (s²) de Y:
- Dados de Y: n = 35, média (ȳ) = 5, CV = 2.
- Sabemos que CV = s / ȳ.
- 2 = s / 5 => s = 10 (desvio padrão amostral).
- A variância amostral é o quadrado do desvio padrão: s² = 10² = 100.
Determinar os Valores Críticos da Qui-Quadrado (χ²):
- A banca (FGV) foi inteligente: em vez de fornecer uma tabela, ela nos deu os valores críticos “escondidos” nos dados da população X.
- Dados de X: n = 35, s² = 104, IC de 95% = [68; 176,8].
- Graus de liberdade: gl = n - 1 = 34.
- Usando a fórmula do IC, podemos isolar os valores de χ²:
  - Limite Inferior: 68 = (34 * 104) / χ²_superior => χ²_superior = 3536 / 68 = 52.
  - Limite Superior: 176,8 = (34 * 104) / χ²_inferior => χ²_inferior = 3536 / 176,8 ≈ 20.
- Assim, temos nossos valores críticos para gl=34 e 95% de confiança: χ²_α/2 ≈ 52 e χ²_1-α/2 ≈ 20.
Construir o Intervalo de Confiança para a Variância de Y:
- Agora, usamos os valores encontrados para a população Y: n = 35, s² = 100, χ²_sup = 52, χ²_inf = 20.
- Limite Inferior (LI): ( (35-1) * 100 ) / 52 = 3400 / 52 ≈ 65,4.
- Limite Superior (LS): ( (35-1) * 100 ) / 20 = 3400 / 20 = 170.
- O intervalo de confiança é [65,4; 170], o que corresponde exatamente à Alternativa B.

Dominar o cálculo do intervalo de confiança para a variância exige a compreensão do Coeficiente de Variação, da distribuição Qui-Quadrado e, principalmente, da “pegadinha” da inversão dos limites na fórmula. Ao entender a lógica por trás de cada passo, você estará preparado para qualquer variação que a banca examinadora apresentar.

Mapa da Aprovação: Resumo Esquematizado

Etapa / Conceito	Descrição e Detalhes
Objetivo	Estimar um intervalo de valores plausíveis para a Variância Populacional (σ²), com um dado nível de confiança.
Dados Iniciais Necessários	Tamanho da Amostra (`n`) Variância Amostral (`s²`) Nível de Confiança (ex: 95%, que implica `α = 0.05`)
Pré-requisito Essencial	A população de origem dos dados deve seguir uma Distribuição Normal.
Ferramenta Estatística	Distribuição Qui-Quadrado (χ²) com `n - 1` graus de liberdade.
Fórmula Central	`IC(σ²) = [ (n-1)s² / χ²_superior , (n-1)s² / χ²_inferior ]`
Processo de Cálculo	Calcule a variância amostral `s²` se não for dada (ex: a partir do CV ou dados brutos). Determine os graus de liberdade: `gl = n - 1`. Encontre os valores críticos de χ² na tabela ou a partir de dados fornecidos. Aplique na fórmula, lembrando da inversão.
Ponto Crítico (PEGADINHA)	INVERSÃO DOS LIMITES: O valor de χ² com maior valor numérico vai no denominador do limite INFERIOR. O de menor valor vai no denominador do limite SUPERIOR.

Teste Seus Conhecimentos: Questões de Fixação

Questão comentada

Questão 1

Um pesquisador coleta uma amostra de 25 observações de uma população normalmente distribuída e calcula uma variância amostral de 40. Ele precisa construir um intervalo de 90% de confiança para a variância populacional. Sabendo que os valores críticos da distribuição Qui-Quadrado com 24 graus de liberdade para 90% de confiança são χ²_{0.95, 24} = 13,85 e χ²_{0.05, 24} = 36,42, qual é o intervalo de confiança aproximado para a variância populacional?

A) [26,36; 69,31]

B) [25,13; 72,45]

C) [16,47; 42,98]

D) [22,94; 60,33]

E) [36,42; 13,85]

Gabarito: A

Comentário:

Dados: n = 25, s² = 40, gl = 24, χ²_inferior = 13,85, χ²_superior = 36,42.
Cálculo do Limite Inferior (LI): Usa-se o valor superior de χ². LI = ((25-1) * 40) / 36,42 = 960 / 36,42 ≈ 26,36.
Cálculo do Limite Superior (LS): Usa-se o valor inferior de χ². LS = ((25-1) * 40) / 13,85 = 960 / 13,85 ≈ 69,31.
Intervalo: [26,36; 69,31]. A alternativa A está correta. As demais alternativas resultam de erros como não inverter os valores de qui-quadrado ou erros de cálculo. A alternativa E é conceitualmente errada, pois o limite inferior não pode ser maior que o superior.

Questão comentada

Questão 2

Utilizando os dados e o intervalo de confiança para a variância calculados na Questão 1 ([26,36; 69,31]), qual seria o intervalo de 90% de confiança para o desvio padrão populacional (σ)?

A) [26,36; 69,31]

B) [5,13; 8,33]

C) [695,4; 4803,9]

D) Não é possível calcular sem a média amostral.

E) [13,18; 34,65]

Gabarito: B

Comentário:

O intervalo de confiança para o desvio padrão populacional (σ) é obtido simplesmente pela extração da raiz quadrada dos limites do intervalo de confiança da variância (σ²).
Limite Inferior (LI) para σ = √26,36 ≈ 5,13.
Limite Superior (LS) para σ = √69,31 ≈ 8,33.
Intervalo: [5,13; 8,33]. A alternativa B está correta. A alternativa A repete o intervalo da variância. A C eleva os valores ao quadrado, um erro conceitual. A D está incorreta, pois a média não é necessária para este cálculo. A E divide os valores por 2, o que não tem fundamento estatístico.

Questão comentada

Questão 3 (Certo/Errado)

Para a construção de um intervalo de confiança para a variância populacional, a suposição de que a amostra foi extraída de uma população com distribuição normal é desejável, mas não estritamente necessária, pois o Teorema do Limite Central garante a validade do procedimento para amostras suficientemente grandes.

( ) Certo

( ) Errado

Gabarito: Errado

Comentário:

Esta é uma pegadinha conceitual muito importante. O Teorema do Limite Central (TLC) se aplica à distribuição das médias amostrais, garantindo que ela se aproxima da normalidade com o aumento do tamanho da amostra. O TLC é a base para os intervalos de confiança para a média.
No entanto, a inferência sobre a variância, que utiliza a distribuição Qui-Quadrado, é muito sensível à suposição de normalidade da população original. A violação dessa suposição pode levar a intervalos de confiança incorretos, independentemente do tamanho da amostra. Portanto, a afirmação está errada.

Referências:

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Desenvolvimento Teórico Aprofundado

1. Conceitos Fundamentais: Variância e Coeficiente de Variação

2. A Ferramenta Essencial: A Distribuição Qui-Quadrado (χ²)

3. A Fórmula do Intervalo de Confiança para a Variância (σ²)

4. Resolvendo a Questão da FGV Passo a Passo

Mapa da Aprovação: Resumo Esquematizado

Teste Seus Conhecimentos: Questões de Fixação

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