Os Testes de Hipóteses: O Cálculo do Nível de Significância (α) (FGV 2024)

Ficha da questão

BancaFGV

Ano2024

ÓrgãoSES MT – Secretaria de Estado de Saúde de Mato Grosso

Prova1ª Etapa – Prova Objetiva – Conhecimentos Específicos, questão 69

DisciplinaEstatística

AssuntoTestes de Hipóteses

NívelSUPERIOR

Olá, futuro aprovado! A Inferência Estatística é um dos divisores de águas em provas de alto nível. Dentro desse universo, os Testes de Hipóteses são figurinhas carimbadas, especialmente em bancas tradicionais como a FGV. Dominar a mecânica de um teste, desde a formulação das hipóteses até a tomada de decisão, é essencial para garantir pontos preciosos.

Nossa aula de hoje será guiada por uma questão recente da FGV, que exigiu do candidato não apenas o conhecimento das fórmulas, mas a compreensão do que significa o “tamanho do critério de teste” (o famoso Erro Tipo I ou Nível de Significância). Veja o texto que originou nosso estudo:

“Para testar H0 : μ ≤ 20 versus H1 : μ > 20, em que μ é a média de uma distribuição normal com variância conhecida e igual a 125 [Nota do Professor: para que o gabarito faça sentido matemático, a variância original da questão deveria ser 225. Explicaremos isso na resolução], uma amostra aleatória simples de tamanho 100 será obtida e o critério de decisão rejeitará H0 se o valor da média amostral for maior do que 23. Se P[ Z > z ] indica a probabilidade de que uma variável com distribuição normal padrão seja maior do que z, então, o tamanho α deste critério de teste será dado por…”

1. Fundamentos dos Testes de Hipóteses

Um teste de hipóteses é uma regra de decisão. Nós temos uma afirmação sobre um parâmetro populacional (como a média μ) e usamos dados de uma amostra para decidir se rejeitamos ou não essa afirmação. Todo teste começa com duas hipóteses antagônicas:

Hipótese Nula (H₀): É a hipótese do “status quo”, da igualdade ou da ausência de efeito. Na nossa questão, é H₀: μ ≤ 20. O sinal de igualdade (ou ≤, ≥) sempre fica na H₀.
Hipótese Alternativa (H₁): É a hipótese do pesquisador, aquilo que queremos provar. Na questão, é H₁: μ > 20. Como aponta para a direita (>), chamamos este teste de unilateral à direita.

2. Os Erros de Decisão e o Tamanho do Teste (α)

Como tomamos decisões baseadas em amostras (que estão sujeitas à variabilidade), podemos cometer erros. Existem dois tipos:

Erro Tipo I: Rejeitar H₀ quando ela é verdadeira. A probabilidade de cometer esse erro é denotada por α (alfa), também chamado de Nível de Significância ou Tamanho do Teste.
Erro Tipo II: Não rejeitar H₀ quando ela é falsa. A probabilidade de cometer esse erro é denotada por β (beta).

3. Dissecando a Questão: O Passo a Passo do Cálculo

A questão pede o tamanho do teste (α). Por definição, α = P(Rejeitar H₀ | H₀ é verdadeira).

Passo A: Identificar a Regra de Rejeição
O enunciado diz: “o critério de decisão rejeitará H0 se o valor da média amostral for maior do que 23”. Portanto, a região de rejeição é X̄ > 23.

Passo B: Assumir que H₀ é verdadeira no limite
Para calcular α, usamos o valor limite da Hipótese Nula. Se H₀: μ ≤ 20, usaremos μ = 20 para os cálculos.

Passo C: Padronização para a Variável Normal Padrão (Z)
Sabemos que a média amostral (X̄) tem distribuição normal com média μ e desvio padrão σ / √n (Erro Padrão). A fórmula de padronização é:

Z = (X̄ – μ) / (σ / √n)

Passo D: Substituindo os valores
Aqui entra o detalhe crucial da questão. O enunciado transcrito fala em “variância igual a 125”. Porém, se usarmos 125, o desvio padrão será √125 ≈ 11,18. O cálculo ficaria: Z = (23 – 20) / (11,18 / √100) = 3 / 1,118 ≈ 2,68. Isso não bate com nenhuma alternativa.
Engenharia Reversa: Para o gabarito (A) estar correto, Z deve ser igual a 2. Para Z = 2, o desvio padrão populacional (σ) deve ser 15, o que significa que a variância (σ²) original da prova era 225 (15² = 225). Assumindo esse provável erro de digitação na transcrição da prova, vamos ao cálculo correto:

X̄ (limite de rejeição) = 23
μ (sob H₀) = 20
Variância (σ²) = 225 → Desvio Padrão (σ) = 15
n (tamanho da amostra) = 100 → √n = 10

Calculando o Z crítico:

Z = (23 – 20) / (15 / 10)

Z = 3 / 1,5 = 2

Portanto, a probabilidade de rejeitar H₀ (que é o nosso α) é a probabilidade de encontrar um Z maior que 2. Ou seja, α = P[ Z > 2 ]. Olhando a tabela da normal padrão (ou confiando no dado da alternativa), isso é aproximadamente 0,023 (ou 2,3%). Isso nos leva diretamente à Alternativa A.

Por que as outras estão erradas?

As alternativas B, C e D apresentam valores de Z (1,6; 1,4; 1,2) que resultariam de cálculos com erros na identificação da variância, do tamanho da amostra, ou esquecimento de dividir o desvio padrão pela raiz de ‘n’ (um erro crudelíssimo e muito comum!).

4. Expandindo o Escopo: O que mais pode cair?

Para você não ser pego de surpresa em provas futuras, domine também estes conceitos satélites:

P-valor (Nível Descritivo): É a probabilidade de obter uma estatística de teste igual ou mais extrema que a observada, assumindo que H₀ é verdadeira. Regra de ouro: Se o P-valor for menor ou igual a α, rejeita-se H₀.
Poder do Teste (1 – β): É a probabilidade de tomar a decisão correta de rejeitar H₀ quando ela é, de fato, falsa. Bancas adoram perguntar como aumentar o poder do teste: a forma mais comum é aumentando o tamanho da amostra (n).
Variância Desconhecida: Na nossa questão, a variância populacional era conhecida. Se ela fosse desconhecida e a amostra fosse pequena (n < 30), não usaríamos a distribuição Normal (Z), mas sim a Distribuição t de Student.

Conclusão: Compreender a mecânica por trás do cálculo do nível de significância (α) liberta você da decoreba de fórmulas. Lembre-se sempre que α é a probabilidade de cometer o Erro Tipo I (rejeitar H₀ verdadeira) e que a padronização para a variável Z é a ponte entre os dados da amostra e as probabilidades na tabela da Normal.

Mapa da Aprovação: Resumo Esquematizado

Matriz de Decisão em Testes de Hipóteses
Decisão Tomada (Amostra)	Realidade (População)
Decisão Tomada (Amostra)	H₀ é Verdadeira	H₀ é Falsa
Rejeitar H₀	Erro Tipo I (α) Nível de Significância	Decisão Correta (1 – β) Poder do Teste
Não Rejeitar H₀	Decisão Correta (1 – α) Nível de Confiança	Erro Tipo II (β)

Fórmulas Essenciais para Teste de Média
Estatística de Teste Z (Variância Populacional Conhecida)	Z = (X̄ – μ₀) / (σ / √n)
Estatística de Teste t (Variância Populacional Desconhecida)	t = (X̄ – μ₀) / (s / √n)
Onde: X̄ = Média Amostral; μ₀ = Média testada em H₀; σ = Desvio Padrão Populacional; s = Desvio Padrão Amostral; n = Tamanho da amostra.

Teste Seus Conhecimentos: Questões de Fixação

Questão 1. (Inédita – Foco em Conceitos) Em um teste estatístico de hipóteses, um pesquisador decide aumentar o nível de significância (α) de 1% para 5%, mantendo o tamanho da amostra constante. Sobre essa alteração, é correto afirmar que:

A probabilidade de cometer o Erro Tipo II aumentará.
O poder do teste será reduzido.
A probabilidade de rejeitar a Hipótese Nula quando ela é verdadeira aumentará.
A probabilidade de cometer o Erro Tipo I diminuirá.
A região de aceitação da Hipótese Nula se tornará mais ampla.

Gabarito: C Comentário:
A alternativa C está correta. O nível de significância (α) é, por definição, a probabilidade de cometer o Erro Tipo I, que é rejeitar H₀ quando ela é verdadeira. Se α passa de 1% para 5%, essa probabilidade aumenta.
Por que as outras estão erradas?
– A e B: Incorretas. Existe uma relação inversa entre α e β (Erro Tipo II) para um mesmo tamanho de amostra. Se α aumenta, β diminui. Consequentemente, o Poder do Teste (1 – β) aumenta.
– D: Incorreta. Como vimos, a probabilidade do Erro Tipo I (α) aumentou de 1% para 5%.
– E: Incorreta. Se α aumenta, a região crítica (região de rejeição) fica maior, logo, a região de aceitação (não rejeição) se torna mais estreita.

Questão 2. (Inédita – Foco em Cálculo) Uma indústria afirma que o tempo de vida útil de suas lâmpadas segue uma distribuição normal com média de 800 horas e desvio padrão populacional de 40 horas. Um órgão de defesa do consumidor suspeita que a média seja menor e formula as seguintes hipóteses: H₀: μ ≥ 800 e H₁: μ < 800. Uma amostra de 64 lâmpadas é testada. O órgão decide rejeitar H₀ se a média amostral for inferior a 790 horas. O valor da estatística Z correspondente ao limite da região crítica é:

Z = -2,0
Z = -1,5
Z = -0,25
Z = 2,0
Z = 1,5

Gabarito: A Comentário:
A alternativa A está correta. Vamos aplicar a fórmula de padronização Z ensinada na aula: Z = (X̄ – μ) / (σ / √n).
Dados fornecidos:
– Limite de rejeição (X̄) = 790
– Média sob H₀ (μ) = 800
– Desvio padrão populacional (σ) = 40
– Tamanho da amostra (n) = 64 → √64 = 8
Cálculo:
Z = (790 – 800) / (40 / 8)
Z = -10 / 5
Z = -2,0.
As demais alternativas apresentam erros de cálculo, como esquecer de dividir o desvio padrão pela raiz de n (o que daria Z = -0,25, alternativa C) ou errar o sinal direcional do teste (alternativas D e E).

Questão 3. (Inédita – Foco em Variações do Tema) Ao realizar um teste de hipóteses para a média de uma população normalmente distribuída, um analista percebe que a variância populacional é desconhecida. Ele extrai uma pequena amostra aleatória de tamanho n = 16. Para calcular a estatística de teste adequada e definir a região crítica, o analista deverá utilizar:

A distribuição Normal Padrão (Z), independentemente do tamanho da amostra.
A distribuição Qui-Quadrado com 15 graus de liberdade.
A distribuição t de Student com 16 graus de liberdade.
A distribuição t de Student com 15 graus de liberdade.
A distribuição F de Snedecor.

Gabarito: D Comentário:
A alternativa D está correta. Este é o “insight” de expansão de escopo que vimos na aula. Quando a variância populacional (σ²) é desconhecida e precisamos estimá-la através do desvio padrão amostral (s), a estatística de teste deixa de seguir uma distribuição Normal Padrão e passa a seguir uma distribuição t de Student. Os graus de liberdade (gl) para um teste de média de uma amostra são calculados por gl = n – 1. Como n = 16, temos 16 – 1 = 15 graus de liberdade.
– A: Incorreta, pois a variância é desconhecida e a amostra é pequena.
– B: Incorreta, Qui-quadrado é usada para testes de variância ou aderência/independência, não para a média neste contexto.
– C: Incorreta, errou o cálculo dos graus de liberdade (usou n em vez de n-1).
– E: Incorreta, a distribuição F é usada para comparar duas variâncias (ANOVA, por exemplo).

Referências:

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